Succinctness and Formula Size Games

Tämä väitöskirja tutkii erilaisten logiikoiden tiiviyttä kaavan pituuspelien avulla. Logiikan tiiviys viittaa ominaisuuksien ilmaisemiseen tarvittavien kaavojen kokoon. Kaavan pituuspelit ovat hyväksi todettu menetelmä tiiviystulosten todistamiseen. Väitöskirjan kontribuutio on kaksiosainen. Ensinnäkin väitöskirjassa määritellään kaavan pituuspeli useille logiikoille ja tarjotaan näin uusia menetelmiä tulevaan tutkimukseen. Toiseksi näitä pelejä ja muita menetelmiä käytetään tiiviystulosten todistamiseen tutkituille logiikoille. Tarkemmin sanottuna väitöskirjassa määritellään uudet parametrisoidut kaavan pituuspelit perusmodaalilogiikalle, modaaliselle μ-kalkyylille, tiimilauselogiikalle ja yleistetyille säännöllisille lausekkeille. Yleistettyjen säännöllisten lausekkeiden pelistä esitellään myös variantit, jotka vastaavat säännöllisiä lausekkeita ja uusia “RE over star-free” -lausekkeita, joissa tähtiä ei esiinny komplementtien sisällä. Pelejä käytetään useiden tiiviystulosten todistamiseen. Predikaattilogiikan näytetään olevan epäelementaarisesti tiiviimpi kuin perusmodaalilogiikka ja modaalinen μ-kalkyyli. Tiimilauselogiikassa tutkitaan systemaattisesti yleisten riippuvuuksia ilmaisevien atomien määrittelemisen tiiviyttä. Klassinen epäelementaarinen tiiviysero predikaattilogiikan ja säännöllisten lausekkeiden välillä osoitetaan uudelleen yksinkertaisemmalla tavalla ja saadaan tähtien lukumäärälle “RE over star-free” -lausekkeissa hierarkia ilmaisuvoiman suhteen. Monissa yllämainituista tuloksista hyödynnetään eksplisiittisiä kaavoja peliargumenttien lisäksi. Tällaisia kaavoja ja tyyppien laskemista hyödyntäen saadaan epäelementaarisia ala- ja ylärajoja yksittäisten sanojen määrittelemisen tiiviydelle predikaattilogiikassa ja monadisessa toisen kertaluvun logiikassa.This thesis studies the succinctness of various logics using formula size games. The succinctness of a logic refers to the size of formulas required to express properties. Formula size games are some of the most successful methods of proof for results on succinctness. The contribution of the thesis is twofold. Firstly, we define formula size games for several logics, providing methods for future research. Secondly, we use these games and other methods to prove results on the succinctness of the studied logics. More precisely, we develop new parameterized formula size games for basic modal logic, modal μ-calculus, propositional team logic and generalized regular expressions. For the generalized regular expression game we introduce variants that correspond to regular expressions and the newly defined RE over star-free expressions, where stars do not occur inside complements. We use the games to prove a number of succinctness results. We show that first-order logic is non-elementarily more succinct than both basic modal logic and modal μ-calculus. We conduct a systematic study of the succinctness of defining common atoms of dependency in propositional team logic. We reprove a classic non-elementary succinctness gap between first-order logic and regular expressions in a much simpler way and establish a hierarchy of expressive power for the number of stars in RE over star-free expressions. Many of the above results utilize explicit formulas in addition to game arguments. We use such formulas and a type counting argument to obtain non-elementary lower and upper bounds for the succinctness of defining single words in first-order logic and monadic second-order logic

Formula size games for modal logic and μ\mu-calculus

We propose a new version of formula size game for modal logic. The game characterizes the equivalence of pointed Kripke-models up to formulas of given numbers of modal operators and binary connectives. Our game is similar to the well-known Adler-Immerman game. However, due to a crucial difference in the definition of positions of the game, its winning condition is simpler, and the second player does not have a trivial optimal strategy. Thus, unlike the Adler-Immerman game, our game is a genuine two-person game. We illustrate the use of the game by proving a non-elementary succinctness gap between bisimulation invariant first-order logic $\mathrm{FO}$ and (basic) modal logic $\mathrm{ML}$. We also present a version of the game for the modal $\mu$-calculus $\mathrm{L}_\mu$ and show that $\mathrm{FO}$ is also non-elementarily more succinct than $\mathrm{L}_\mu$.Comment: This is a preprint of an article published in Journal of Logic and Computation Published by Oxford University Press. arXiv admin note: substantial text overlap with arXiv:1604.0722

Kaavan pituuspeli modaalilogiikalle ja tiiviystuloksia

Tämän tutkielman aiheena on kaavan pituuspeli modaalilogiikalle ja sen käyttäminen tiiviystulosten osoittamiseen. Aluksi määritellään modaalilogiikan syntaksi ja semantiikka sekä modaalilogiikkaan ja predikaattilogiikkaan liittyviä perusasioita. Lisäksi määritellään kaavan pituuden käsite molemmille logiikoille. Tämän jälkeen määritellään kaavan pituuspeli modaalilogiikalle. Pelissä on kaksi pelaajaa, I ja II. Osoitetaan, että pelaajalla I on peliin voittostrategia, jos ja vain jos annetut pistemalliluokat voidaan erottaa kaavalla, joka on korkeintaan annetun pituinen. Kaavan pituuspelin sovelluksena osoitetaan ensin, että julkisen tiedon logiikka on eksponentiaalisesti tiiviimpi kuin modaalilogiikka. Annetaan siis parametrin n suhteen määritelty ominaisuus, joka voidaan ilmaista julkisen tiedon logiikassa luvun n suhteen lineaarisen mittaisella kaavalla, ja osoitetaan kaavan pituuspelin avulla, että saman ominaisuuden ilmaiseminen modaalilogiikassa vaatii kaavan, jonka pituus on vähintään 2 potenssiin n. Lopuksi osoitetaan toisena kaavan pituuspelin sovelluksena, että predikaattilogiikka on epäelementaarisesti tiiviimpi kuin modaalilogiikka. Tässä määriteltävä pistemallien ominaisuus on predikaattilogiikassa ilmaistavissa kaavalla, jonka pituus on suuruusluokkaa 2 potenssiin n ja vastaavan modaalilogiikan kaavan pituuden osoitetaan olevan suurempi kuin eksponenttitorni, jonka korkeus on n-1. Sopivien malliluokkien konstruoinnissa käytetään joukko-opin kumulatiivista hierarkiaa ja pelin aikana säilyvä invariantti löydetään graafiteorian väritysluvun avulla

Relating Description Complexity to Entropy

We demonstrate some novel links between entropy and description complexity, a notion referring to the minimal formula length for specifying given properties. Let MLU be the logic obtained by extending propositional logic with the universal modality, and let GMLU be the corresponding extension with the ability to count. In the finite, MLU is expressively complete for specifying sets of variable assignments, while GMLU is expressively complete for multisets. We show that for MLU, the model classes with maximal Boltzmann entropy are the ones with maximal description complexity. Concerning GMLU, we show that expected Boltzmann entropy is asymptotically equivalent to expected description complexity multiplied by the number of proposition symbols considered. To contrast these results, we prove that this link breaks when we move to considering first-order logic FO over vocabularies with higher-arity relations. To establish the aforementioned result, we show that almost all finite models require relatively large FO-formulas to define them. Our results relate to links between Kolmogorov complexity and entropy, demonstrating a way to conceive such results in the logic-based scenario where relational structures are classified by formulas of different sizes

Explainability via Short Formulas: the Case of Propositional Logic with Implementation

We conceptualize explainability in terms of logic and formula size, giving a number of related definitions of explainability in a very general setting. Our main interest is the so-called special explanation problem which aims to explain the truth value of an input formula in an input model. The explanation is a formula of minimal size that (1) agrees with the input formula on the input model and (2) transmits the involved truth value to the input formula globally, i.e., on every model. As an important example case, we study propositional logic in this setting and show that the special explainability problem is complete for the second level of the polynomial hierarchy. We also provide an implementation of this problem in answer set programming and investigate its capacity in relation to explaining answers to the n-queens and dominating set problems.publishedVersionPeer reviewe

Games for Succinctness of Regular Expressions

We present a version of so called formula size games for regular expressions. These games characterize the equivalence of languages up to expressions of a given size. We use the regular expression size game to give a simple proof of a known non-elementary succinctness gap between first-order logic and regular expressions. We also use the game to only count the number of stars in an expression instead of the overall size. For regular expressions this measure trivially gives a hierarchy in terms of expressive power. We obtain such a hierarchy also for what we call RE over star-free expressions, where star-free expressions, that is ones with complement but no stars, are combined using the operations of regular expressions.publishedVersionPeer reviewe

Kaavan pituuspeli modaalilogiikalle ja tiiviystuloksia

Tämän tutkielman aiheena on kaavan pituuspeli modaalilogiikalle ja sen käyttäminen tiiviystulosten osoittamiseen. Aluksi määritellään modaalilogiikan syntaksi ja semantiikka sekä modaalilogiikkaan ja predikaattilogiikkaan liittyviä perusasioita. Lisäksi määritellään kaavan pituuden käsite molemmille logiikoille. Tämän jälkeen määritellään kaavan pituuspeli modaalilogiikalle. Pelissä on kaksi pelaajaa, I ja II. Osoitetaan, että pelaajalla I on peliin voittostrategia, jos ja vain jos annetut pistemalliluokat voidaan erottaa kaavalla, joka on korkeintaan annetun pituinen. Kaavan pituuspelin sovelluksena osoitetaan ensin, että julkisen tiedon logiikka on eksponentiaalisesti tiiviimpi kuin modaalilogiikka. Annetaan siis parametrin n suhteen määritelty ominaisuus, joka voidaan ilmaista julkisen tiedon logiikassa luvun n suhteen lineaarisen mittaisella kaavalla, ja osoitetaan kaavan pituuspelin avulla, että saman ominaisuuden ilmaiseminen modaalilogiikassa vaatii kaavan, jonka pituus on vähintään 2 potenssiin n. Lopuksi osoitetaan toisena kaavan pituuspelin sovelluksena, että predikaattilogiikka on epäelementaarisesti tiiviimpi kuin modaalilogiikka. Tässä määriteltävä pistemallien ominaisuus on predikaattilogiikassa ilmaistavissa kaavalla, jonka pituus on suuruusluokkaa 2 potenssiin n ja vastaavan modaalilogiikan kaavan pituuden osoitetaan olevan suurempi kuin eksponenttitorni, jonka korkeus on n-1. Sopivien malliluokkien konstruoinnissa käytetään joukko-opin kumulatiivista hierarkiaa ja pelin aikana säilyvä invariantti löydetään graafiteorian väritysluvun avulla

Defining Long Words Succinctly in FO and MSO

We consider the length of the longest word definable in FO and MSO via a formula of size n. For both logics we obtain as an upper bound for this number an exponential tower of height linear in n. We prove this by counting types with respect to a fixed quantifier rank. As lower bounds we obtain for both FO and MSO an exponential tower of height in the order of a rational power of n. We show these lower bounds by giving concrete formulas defining word representations of levels of the cumulative hierarchy of sets. In addition, we consider the Löwenheim-Skolem and Hanf numbers of these logics on words and obtain similar bounds for these as well.publishedVersionPeer reviewe

On the Succinctness of Atoms of Dependency

Propositional team logic is the propositional analog to first-order team logic. Non-classical atoms of dependence, independence, inclusion, exclusion and anonymity can be expressed in it, but for all atoms except dependence only exponential translations are known. In this paper, we systematically compare their succinctness in the existential fragment, where the splitting disjunction only occurs positively, and in full propositional team logic with unrestricted negation. By introducing a variant of the Ehrenfeucht-Fra\"{i}ssé game called formula size game into team logic, we obtain exponential lower bounds in the existential fragment for all atoms. In the full fragment, we present polynomial upper bounds also for all atoms.publishedVersionPeer reviewe